Формулы (31.5), (32.5) и (34.5) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции сечения при повороте осей на произвольный угол а. Для некоторых значений угла a величины осевых моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.
Из формулы (33.5) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является максимальным (т. е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси является минимальным (т. е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а.
Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.
Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу а от момента инерции [см. формулу (31.5) и рис. 19.5]:
Приравниваем этот результат нулю:
где - угол, на который надо повернуть координатные оси у чтобы они совпали с главными осями.
Сравнивая выражения (35.5) и (34.5), устанавливаем, что
Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.
Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.
Решим уравнение (35.5) относительно угла
Уравнению (36.5) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений Из них выбирается одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось следует повернуть на угол против вращения часовой стрелки, а если отрицательное - то по вращению часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален).
Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимум, а какая - осью минимум. Так, например, если а главные оси инерции и и v расположены, как это показано на рис. 20.5, то ось и является осью максимум (так как образует с осью у меньший угол, чем с осью ), а ось v - осью минимум.
При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции можно выбранное значение угла и значение подставить в формулу (31.5) или (32.5).
Решим эту задачу в общем виде. По формулам из тригонометрии, используя выражение (36.5), найдем
Подставив эти выражения в формулу (31.5), после простых преобразований получим
Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е. главные центральные инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Если то формула (34.5) дает значение центробежного момента инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, равное нулю, и, следовательно, любые оси, полученные путем поворота системы координат являются главными осями инерции (так же как оси ). В этом случае
2. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. Действительно, направим одну из осей () по одной из осей симметрии, а другую - перпендикулярно к ней. Для этих осей Если фигура имеет более двух осей симметрии, то какая-либо из них составляет острый угол с осью . Обозначим такую ось а перпендикулярную к ней ось
Центробежный момент инерции так как ось является осью симметрии. По формуле же (34.5).
Главные оси - это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и максимальный.
Главные центральные моменты инерции рассчитываются относительно главных осей, проходящих через центр тяжести.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).
Решение
1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Используем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямоугольника.
Для круга
Для прямоугольника
Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ. Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:
где А - площадь сечения; а - расстояние между осями Ох и Ох о .
 |
Момент инерции сечения
Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сечения относительно оси Ох (рис. 25.6).
Решение
1. Сечение составлено из стандартных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox
1 = 572 см 4 .
Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox 2 = 757 см 4 .
Площадь А 2 = 18,1см 2 , Jo y 2 = 63,3см 4 .
2. Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.
у 2 = (h 1 /2) + d 2 - zo 2 , по ГОСТ находим h 1 = 14 см; d 2 = 5 мм; z o = 1,8 см.
Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:
В данном случае
Пример 3. Для заданного сечения (рис. 2.45) вычислить главные центральные моменты инерции.
Решение
Сечение имеет две оси симметрии, которые являются его главными центральными осями.
Разбиваем сечение на две простейшие фигуры: прямоугольник (I ) и два круга (II).
Момент инерции сечения относительно оси х
Ось x (центральная ось сечения) не является центральной осью круга. Следовательно, момент инерции круга следует вычислять по формуле
Подставляя значения J x ’’ , a, F" в формулу, получаем
Ось у является центральной для прямоугольника и кругов. Следовательно,
Пример 4.
Для заданного сечения (рис.2.46)определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции.
Решение
Центр тяжести лежит на оси Оу, так как она является осью симметрии сечения. Разбив сечение на два прямоугольника I (160 x 100) иII (140 x 80) и выбрав вспомогательную ось и, определим координату центра тяжести v 0 по формуле
Оси Ох и Оу - главные центральные оси сечения (Оу - ось симметрии, ось Ох проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна к Оу).
Вычислим главные моменты инерции сечения J x и J y:
Ось Оу является центральной осью для прямоугольников 1 и 11. Следовательно,
Для проверки правильности решения можно разбить сечение на прямоугольники другим способом и вновь произвести расчет. Совпадение результатов явится подтверждением их правильности.
Пример 5. Вычислить главные центральные моменты инерции сечения (рис. 2.47).
Решение
Сечение имеет две оси симметрии, которые и являются его главными центральными осями.
Разбиваем сечение на два прямоугольника с b * h = 140 x 8 и два прокатных швеллера. Для швеллера № 16 из таблицы ГОСТ 8240 – 72 имеем J X 1 = J x = 747 см 4 ; J y 1 = 63 , 3 см 9 , F 1 = 18,1см 2 , z 0 = 1,8см.
Вычислим J x и J y:
Пример 6. Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции заданного сечения (рис. 2.48).
Решение
Заданное сечение разбиваем на прокатные профили: швеллер I и два двутавра II. Геометрические характеристики швеллера и двутавра берем из таблиц прокатной стали ГОСТ 8240-72 и ГОСТ 8239 - 72.
Для швеллера № 20 J Xl = 113 см 4 (в таблице J y); J y 1 = 1520 см 4 (в таблице J x); F 1 = 23,4 см 2 ; г 0 = 2,07 см.
Для двутавра №18 J x 2 = 1330 см 4 (в таблице J x); Jy 2 = 94,6 см 4 (в таблице J y); F 2 = 23,8 см 2 .
Одной из главных осей является ось симметрии Оу , другая главная ось Ох проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к первой.
Выбираем вспомогательную ось и и определяем координату v 0 :
где v 1 = 180 + 20,7 = 200,7 мм и v 2 = 180/2 = 90 мм. Вычисляем J x и J у:
 |
Контрольные вопросы и задания
1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции?
2. Осевые моменты сечения равны соответственно J x = 2,5 мм 4 и J y = 6,5мм. Определите полярный момент сечения.
3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J x = 4 см 4 . Определите величину J p .
4. В каком случае J x наименьшее (рис. 25.7)?
5. Какая из приведенных формул для определения J x подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?
6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси J XQ = 174см 4 ; площадь поперечного сечения 10,9 см 2 .
Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).
7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).
8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).
 |
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными, а моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции.
Перепишем формулу (2.18) с учетом известных тригонометрических соотношений:
; 
в таком виде
С целью определения положения главных центральных осей, продифференцируем равенство (2.21) по углу α один раз получим
При некотором значении угла α=α 0 , центробежный момент инерции может оказаться равным нулю. Следовательно, с учетом производной (в ), осевой момент инерции примет экстремальное значение. Приравнивая
,
получаем формулу для определения положения главных осей инерции в виде:
(2.22)
В формуле (2.21) вынесем за скобки соs2α
0 и подставим туда значение (2.22) и с учетом известной тригонометрической зависимости 
получим:
После упрощения окончательно получим формулу для определения значений главных моментов инерции:
(2.23)
Формула (20.1) применяется для определения моментов инерции относительно главных осей. Формула (2.22) не дает прямого ответа на вопрос о том: относительно какой оси момент инерции будет максимальный или минимальный. По аналогии с теорией по исследованию плоского напряженного состояния приведем более удобные формулы для определения положения главных осей инерции:
(2.24)
Здесь α 1 и α 2 определяют положение осей, относительно которых моменты инерции соответственно равны J 1 и J 2 . При этом следует иметь в виду, что сумма модулей углов α 01 и α 02 должна равняться π/2:
Условие (2.24) является условием ортогональности главных осей инерции плоского сечения.
Следует отметить, что при пользовании формулами (2.22) и (2.24) для определения положения главных осей инерции должна соблюдаться такая закономерность:
Главная ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет наименьший угол с той исходной осью, относительно которой момент инерции больше.
Пример 2.2.
Определить геометрические характеристики плоских сечений бруса относительно главных центральных осей:
 |
Решение
Предложенное сечение является несимметричным. Поэтому положение центральных осей будет определяться двумя координатами, главные центральные оси будут развернуты относительно центральных осей на определенный угол. Отсюда вытекает такой алгоритм решения задачи по определению основных геометрических характеристик.
1. Разбиваем сечение на два прямоугольника с такими площадями и моментами инерции относительно собственных центральных осей:
F 1 =12 cм 2 , F 2 =18 cм 2 ;
2. Задаемся системой вспомогательных осей х 0 у 0 с началом в точке А . Координаты центров тяжести прямоугольников в этой системе осей такие:
х 1 =4 см; х 2 =1 см; у 1 =1,5 см; у 2 =4,5 см.
3. Определяем координаты центра тяжести сечения по формулам (2.4):
Наносим центральные оси (на рис 2.9 красным цветом).
4. Вычисляем осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей х с и у с по формулам (2.13) применительно к составному сечению:
5. Находим главные моменты инерции по формуле (2.23)
6. Определяем положение главных центральных осей инерции х и у по формуле (2.24):
Главные центральные оси показаны на (рис. 2.9) синим цветом.
7. Проверим проведенные вычисления. Для этого проведем следующие вычисления:
Сумма осевых моментов инерции относительно главных центральных и центральных осей должна быть одинаковой:
Сумма модулей углов α х и α у, , определяющих положение главных центральных осей:
Кроме того, выполняется положение о том, что главная центральная ось х , относительно которой момент инерции J x имеет максимальное значение, составляет меньший угол с той центральной осью, относительно которой момент инерции больше, т.е. с осью х с.
Из формул (6.29) - (6.31) видно, что при повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями , а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения .
Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I 1 и I 2 причем I 1 > I 2 . Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.
Предположим, что оси u и v главные. Тогда
|
|
.Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от I u по α и приравняем ее нулю:
.
К тому же результату приводит и условие dI v /d α . Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.
Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:
|
|
.Знак плюс перед радикалом соответствует большему I 1 , а знак минус - меньшему I 2 из моментов инерции сечения.
Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (I yz =0), а I y =I z . Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции I uv =0, а осевые I u = I v .
Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: I u = I v = I y = I z . Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.
Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.
ОСИ ИНЕРЦИИ
ОСИ ИНЕРЦИИ
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия
. . 1983 .ОСИ ИНЕРЦИИ
Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .
Смотреть что такое "ОСИ ИНЕРЦИИ" в других словарях:
Главные три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Большой Энциклопедический словарь
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Энциклопедический словарь
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно этих осей… … Большая советская энциклопедия
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, к рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внеш. сил оно будет продолжать… … Естествознание. Энциклопедический словарь
главные оси инерции - Три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Справочник технического переводчика
главные оси инерции - три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… …
- … Википедия
Оси главные - : Смотри также: главные оси инерции главные оси (тензора) деформации … Энциклопедический словарь по металлургии
Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия
Момент инерции скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².… … Википедия
Книги
- Торетическая физика. Часть 3. Механика твердого тела (2-е издание) , А.А. Эйхенвальд. Третья часть данного курса теоретической физики представляет собой естественное продолжение части II: основные принципы механики применяются здесь к твердому телу, т. е. к системе…