Принцип суперпозиции для напряжённости и потенциала электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей Напряженность поля принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции

Допустим, что у нас есть три точечных заряда. Эти заряды взаимодействуют. Можно провести эксперимент и измерить силы, которые действуют на каждый заряд. Для того чтобы найти суммарную силу, с которой на один заряд действует второй и третий, необходимо силы, с которыми действуют каждый из них сложить по правилу параллелограмма. Возникает вопрос, равна ли измеряемая сила, которая действует на каждый из зарядов, сумме сил со стороны двух других, если силы рассчитаны по закону Кулона. Исследования показали, что измеряемая сила равна сумме вычисляемых сил в соответствии с законом Кулона со стороны двух зарядов. Такой эмпирический результат выражается в виде утверждений:

• сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется, если присутствуют другие заряды;
• сила, действующая на точечный заряд со стороны двух точечных зарядов, равна сумме сил, действующих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.

Данное утверждение называется принципом суперпозиции. Этот принцип является одной из основ учения об электричестве. Он так же важен, как и закон Кулона. Его обобщение на случай множества зарядов очевидно. Если имеется несколько источников поля (количество зарядов N), то результирующую силу, действующую на пробный заряд q можно найти как:

\[\overrightarrow{F}=\sum\limits^N_{i=1}{\overrightarrow{F_{ia}}}\left(1\right),\]

где $\overrightarrow{F_{ia}}$ -- сила, с которой действует на заряд q заряд $q_i$ если остальные N-1 заряд отсутствуют.

Принцип суперпозиции (1) позволяет, используя закон взаимодействия между точечными зарядами, вычислить силу взаимодействия между зарядами, находящимися на теле конечных размеров. Для этого необходимо разбить каждый из зарядов на малые заряды dq, которые можно считать точечными, взять из попарно, вычислить силу взаимодействия и провести векторное сложение полученных сил.

Полевая трактовка принципа суперпозиции

Принцип суперпозиции имеет полевую трактовку: напряженность поля двух точечных зарядов равна сумме напряженностей, которые создаются каждым из зарядов, при отсутствии другого.

В общем случае принцип суперпозиции относительно напряженностей можно записать так:

\[\overrightarrow{E}=\sum{\overrightarrow{E_i}}\left(2\right).\]

где ${\overrightarrow{E}}_i=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{q_i}{\varepsilon r^3_i}\overrightarrow{r_i}\ $- напряжённость i-го точечного заряда, $\overrightarrow{r_i}\ $- радиус-вектор, проведённый от i-го заряда в точку пространства. Выражение (1) означает, что напряженность поля любого числа точечных зарядов равна сумме напряженностей полей каждого из точечных зарядов, если другие отсутствуют.

Подтверждено инженерной практикой, что принцип суперпозиции соблюдается вплоть до очень больших напряженностей полей. Очень значительные напряженности имеют поля в атомах и ядрах (порядка ${10}^{11}-{10}^{17}\frac{B}{м}$), но и для них использовали принцип суперпозиции в расчетах энергетических уровней атомов и данные расчетов совпали с данными экспериментов с большой точностью. Однако надо отметить, что при очень малых расстояниях (порядка $\sim {10}^{-15}м$) и экстремально сильных полях принцип суперпозиции, возможно, не выполняется. Так, к примеру, на поверхности тяжелых ядер напряженности достигают порядка $\sim {10}^{22}\frac{В}{м}$ принцип суперпозиции выполняется, но при напряженности ${10}^{20}\frac{В}{м}$ возникают квантово -- механические нелинейности взаимодействия.

Если заряд распределен непрерывно (нет необходимости учитывать дискретность), то суммарная напряженность поля найдется как:

\[\overrightarrow{E}=\int{d\overrightarrow{E}}\ \left(3\right).\]

В уравнении (3) интегрирование проводят по области распределения зарядов. Если заряды распределены по линии ($\tau =\frac{dq\ }{dl}-линейная\ плотность\ распределения\ заряда$), то интегрирование в (3) проводят по линии. Если заряды распределены по поверхности и поверхностная плотность распределения $\sigma =\frac{dq\ }{dS}$, то интегрируют по поверхности. Интегрирование проводят по объему, если имеют дело с объемным распределением заряда: $\rho =\frac{dq\ }{dV}$, где $\rho $ -- объемная плотность распределения заряда.

Принцип суперпозиции в принципе позволяет определить $\overrightarrow{E}$ для любой точки пространства по известному пространственному распределению заряда.

Пример 1

Задание: Одинаковые точечные заряды q находятся в вершинах квадрата со стороной a. Определите, какая сила, действует на каждый заряд со стороны других трех зарядов.

Изобразим силы, действующие на один из зарядов в вершине квадрата (выбор не важен, так как заряды одинаковы) (рис.1). Результирующую силу, действующую на заряд $q_1$, запишем как:

\[\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{14}+{\overrightarrow{F}}_{13}\ \left(1.1\right).\]

Силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{14}$ равны по модулю и могут быть найдены как:

\[\left|{\overrightarrow{F}}_{12}\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_{14}\right|=k\frac{q^2}{a^2}\ \left(1.2\right),\]

где $k=9 {10}^9\frac{Нм^2}{{Кл}^2}.$

Модуль силы ${\overrightarrow{F}}_{13}$ найдем, также по закону Кулона, зная, что диагональ квадрата равна:

следовательно, имеем:

\[\left|{\overrightarrow{F}}_{13}\right|=k\frac{q^2}{2a^2}\ \left(1.4\right)\]

Направим ось OX как указано на рис. 1, спроектируем уравнение (1.1), подставим полученные модули сил, получим:

Ответ: Сила, действующая на каждый из зарядов в вершинах квадрата равна: $F=\frac{kq^2}{a^2}\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{2}\right).$

Пример 2

Задание: Электрический заряд равномерно распределен вдоль тонкой нити в равномерной линейной плотностью $\tau $. Найдите выражение для напряженности поля на расстоянии $а$ от конца нити на ее продолжении. Длина нити равна $l$.

Выделим на нити точечный заряд $dq$, запишем для него из закона Кулона выражение для напряженности электростатического поля:

В заданной точке все векторы напряженности направлены одинаково, вдоль оси Х, поэтому, имеем:

Так как заряд по условию задачи равномерно распределен по нити с линейной плотностью $\tau $, то можно записать следующее:

Подставим (2.4) в уравнение (2.1), проинтегрируем:

Ответ: Напряженность поля нити в указанной точке вычисляется по формуле: $E=\frac{k\tau l}{a(l+a)}.$

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется через особый вид материи, порождаемой заряженными частицами - электрическое поле . Электрические заряды изменяют свойства окружающего их пространства. Проявляется это в том, что на помещенный вблизи заряженного тела другой заряд (назовем его пробным ) действует сила (рис. 2). По величине этой силы можно судить об «интенсивности» поля, созданного зарядом q . Для того, чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала электрическое поле именно в данной точке пространства, пробный заряд, очевидно, должен быть точечным .

Рисунок 2

Поместив пробный заряд q пр на некотором расстоянии r от заряда q (рис. 2), мы обнаружим, что на него действует сила, величина которой зависит от величины взятого пробного заряда q пр .

Л
егко, однако, видеть, что для всех пробных зарядов отношениеF / q пр будет одно и тоже и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле заряда q в данной точке r . Естественно, поэтому, принять это отношение за величину, характеризующую «интенсивность» или, как говорят, напряженность электрического поля (в данном случае поля точечного заряда ):

.

Таким образом, напряженность электрического поля является его силовой характеристикой . Численно она равна силе, действующий на пробный заряд q пр = +1, помещенный в данное поле.

Напряженность поля – вектор . Его направление совпадает с направлением вектора силы , действующей на точечный заряд, помещенный в это поле. Следовательно, если в электрическое поле напряженностью поместить точечный зарядq , то на него будет действовать сила:

Размерность напряженности электрического поля в СИ:
.

Электрическое поле удобно изображать с помощью силовых линий . Силовая линия – линия, вектор касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля в этой точке. Принято считать, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность) и нигде не прерываются.

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой же точке пространства каждым из зарядов в отдельности:

.

1. Работа сил электростатического поля, потенциал. Консервативность электростатических сил, связь между е и . Потенциал точечного и распределенного заряда.

Как следует из закона Кулона, сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле, созданном другими зарядами, является центральной . Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой направлена по радиус-вектору, соединяющему некоторую неподвижную точку О (центр поля) с любой точкой траектории. Из «Механики» известно, что все центральные силы являются потенциальными . Работа этих сил не зависит от формы пути перемещения тела, на которое они действуют, и равна нулю по любому замкнутому контуру (пути перемещения). В применении к электростатическому полю:

.

То есть, работа сил поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна по величине и противоположна по знаку работе по перемещению заряда из точки 2 в точку 1, независимо формы пути перемещения. Следовательно, работа сил поля по перемещению заряда может быть представлена разностью потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути перемещения:

.

Введем потенциал электростатического поля φ , задав его как отношение:

, (размерность в СИ:
).

Тогда работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 будет:

Разность потенциалов
называется электрическим напряжением. Размерность напряжения, как и потенциала, [U] = B.

Считается, что на бесконечности электрические поля отсутствуют, и значит
. Это позволяет датьопределение потенциала как работы, которую нужно совершить, чтобы переместить заряд q = +1 из бесконечности в данную точку пространства. Таким образом, потенциал электрического поля является его энергетической характеристикой.

>>Физика: Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей

Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. Надо ввести количественную характеристику поля. После этого электрические поля можно будет сравнивать друг с другом и продолжать изучать их свойства.
Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на заряд. Можно утверждать, что мы знаем о поле все, что нам нужно, если будем знать силу, действующую на любой заряд в любой точке поля.
Поэтому надо ввести такую характеристику поля, знание которой позволит определить эту силу.
Если поочередно помещать в одну и ту же точку поля небольшие заряженные тела и измерять силы, то обнаружится, что сила, действующая на заряд со стороны поля, прямо пропорциональна этому заряду. Действительно, пусть поле создается точечным зарядомq 1 . Согласно закону Кулона (14.2) на заряд q 2 действует сила, пропорциональная заряду q 2 . Поэтому отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля заряд, к этому заряду для каждой точки поля не зависит от заряда и может рассматриваться как характеристика поля. Эту характеристику называютнапряженностью электрического поля. Подобно силе, напряженность поля – векторная величина ; ее обозначают буквой . Если помещенный в поле заряд обозначить через q вместо q 2 , то напряженность будет равна:

если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряженности которых и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна сумме напряженностей этих полей:

причем напряженность поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется так, как будто других зарядов, создающих поле, не существует.
Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать выражение (14.9) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 14.8 показано, как определяется напряженность поля в точке A , созданная двумя точечными зарядами q 1 и q 2 , q 1 >q 2

???
1. Что называется напряженностью электрического поля?
2. Чему равна напряженность поля точечного заряда?
3. Как направлена напряженность поля зарядаq 0 , если q 0 >0 ? если q 0 <0 ?
4. Как формулируется принцип суперпозиции полей?

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,

Это некоторое положение, которое применяется при ряде случаев. Это один из общих физических законов, на которых строится физика, как наука. Этим он и примечателен для учёных, которые применяют его в разных ситуациях.

Если рассмотреть принцип суперпозиции в самом общем смысле, то согласно ему, сумма воздействия внешних сил, действующих на частицу, будет складываться из отдельных значений каждой из них.

Данный принцип применяется к различным линейным системам, т.е. таким системам, поведение которых можно описать линейными соотношениями. Примером может послужить простая ситуация, когда линейная волна распространяется в какой-то определённой среде, в этом случае её свойства будут сохраняться даже под действием возмущений, возникающих из-за самой волны. Эти свойства определяются как конкретная сумма эффектов каждой из гармоничных составляющих.

Сферы применения

Как уже было сказано, принцип суперпозиции имеет достаточно широкие сферы применения. Наиболее ярко его действие можно увидеть в электродинамике. Однако важно помнить, что рассматривая принцип суперпозиции, физика не считает его конкретным постулатом, а именно следствием из теории электродинамики.

Например, в электростатике данный принцип действует при изучении Система зарядов в конкретной точке создаёт напряжённость, которая будет складываться из суммы напряжённостей полей каждого из заряда. Данный вывод используется на практике, потому что с его помощью можно сосчитать потенциальную энергию электростатического взаимодействия. В этом случае нужно будет подсчитать потенциальную энергию каждого отдельного заряда.

Это подтверждается уравнением Максвелла, которое линейно в вакууме. Отсюда также следует тот факт, что свет не рассеивается, а распространяется линейно, поэтому отдельные лучи не взаимодействуют друг с другом. В физике это явление часто называют принципом суперпозиции в оптике.

Стоит также отметить, что в классической физике принцип суперпозиции вытекает из линейности уравнений отдельных движущихся линейных систем, поэтому является приближенным. Он основывается на глубоких динамических принципах, но приближенность делает его не универсальным и не фундаментальным.

В частности сильное описывается другими уравнениями, нелинейными, поэтому и принцип не может применяться в данных ситуациях. Макроскопическое также не подчиняется данному принципу, так как зависит от воздействия внешних полей.

Однако принцип суперпозиции сил является фундаментальным в квантовой физике. Если в других разделах он применяется с некоторыми погрешностями, то на квантовом уровне работает достаточно точно. Любая квантомеханическая система изображается из и векторов линейного пространства, и если она подчиняется линейным функциям, то её состояние определяется по принципу суперпозиции, т.е. складывается из суперпозиции каждого состояния и волновой функции.

Границы применения достаточно условны. Уравнения классической электродинамики линейны, но это не является основным правилом. Большинство фундаментальных теорий физики строятся по нелинейным уравнениям. Это значит, что в них принцип суперпозиции выполняться не будет, сюда можно отнести общую теорию относительности, квантовую хромодинамику, а также теорию Янга-Миллса.

В некоторых системах, где принципы линейности применимы только отчасти, может условно применяться и принцип суперпозиции, например, слабые гравитационные взаимодействия. Кроме того, при рассмотрении взаимодействия атомов и молекул принцип суперпозиции также не сохраняется, этим объясняется разнообразие физических и химических свойств материалов.